A finales del año 2000, Davidson firma un contrato con el equipo Lucky Strike BAR F1, dentro del programa para jóvenes pilotos de la escudería. En 2001 realiza su primer test en el circuito de Mugello, tras el cual es contratado como piloto de pruebas oficial para la temporada 2002. Durante su año como probador tuvo la oportunidad de correr los Grandes Premios de Hungría y Bélgica con Minardi, sustituyendo a los pilotos oficiales, por aquel entonces Mark Webber y Alex Yoong.

En 2003 volvió a sus labores como probador de BAR, y durante ese año, gracias a un acuerdo con la compañía Prodrive, Anthony pudo competir también en tres carreras de resistencia, entre ellas las 24 horas de Le Mans y las 12 horas de Sebring con un Ferrari 550 GTS Maranello. En 2004 pasó a ser tercer piloto del equipo BAR, teniendo la oportunidad de tomar parte en las sesiones de entrenamiento de los viernes de cada Gran Premio. En 2004, y debido a que el equipo terminó segundo en la clasificación de constructores el año anterior, Davidson pierde la opción de poder realizar entrenamientos los viernes, ya que sólo los equipos que clasificaron por debajo del cuarto puesto tienen la opción de sacar a pista tres coches ese día. Aún así prosiguió con sus labores como piloto reserva y en el Gran Premio de Malasia tuvo la oportunidad de sustituir a Takuma Sato, pero un escape de aceite le obligó a retirarse en la tercera vuelta.

En 2006 recupera la posibilidad de realizar los entrenamientos de los viernes, y sus habilidades en esas sesiones le sirven para firmar con Super Aguri para esta temporada como segundo piloto.