Wright se graduó en la St. Albans School y fue a la Amherst College, en donde decidió estudiar ciencias políticas. Y aunque tenía entre sus planes dedicarse a la abogacía, terminó decantándose por la actuación, por lo que decidió abandonar sus estudios y trasladarse a la Universidad de Nueva York en donde recibió una beca para estudiar interpretación.
Es mayormente conocido por sus apariciones en películas como "The Manchurian Candidate (2004)", "The Ides of March" (2011), "The French Dispatch" (2021) o "American Fiction" (2023) y por jhacer parte de sagas tan importantes como la de "James Bond" y "Los Juegos del Hambre". En cuanto a la televisión, se le recuerda por sus papeles en series como "Angels in America" (2003), "Westworld" (2016-2022) y "The Last of Us" (2025).
Debido a su amplia y exitosa trayectoria, ha sido galardonado con un Globo de Oro y un Emmy a mejor actor de reparto en serie y fue nominado a un Premio Óscar y al Premio del Sindicato de Actores.